Bešker je rođen 30. januara 1950. godine. U novinarstvu je svojim tekstovima obogatio stranice brojnih izdanja, osim Slobodne Dalmacije i Jutarnjeg lista, za koje je pisao do posljednjeg dana, radio je i za Omladinski tjednik, Studentski list, Telegram, Start, Vjesnik, BBC, Radio 101 i druge.

Bio je i redovni profesor kroatistike na Sveučilištu u Splitu od 2013. godine, profesor slavistike na Orijentalnom sveučilištu u Napulju, na Sveučilištu La Sapienza u Rimu, te na Sveučilištu u Bologni. Predavao je istraživačko novinarstvo na Sveučilištu u Zagrebu.

Autor je i niza knjiga, te dobitnik brojnih nagrada, od kojih i Nagrada "Otokar Keršovani" za životno djelo u novinarstvu, Nagrada Slobodne Dalmacije za životno djelo u novinarstvu, nagrada Miljenko Smoje za novinara godine 2002.

Dobio je i nagradu za najbolji komentar u štampi 2002. godine, za najbolji komentar na internetu 2006, potom i nagradu Kiklop, za knjigu Filološke dvoumice, te nagradu HHO-a Joška Kulušića za zaštitu ljudskih prava.